Оси ординат и абсцесс

Вы можете помочь проекту, переведя любую сумму на один из этих кошельков.

R365065644854

Z389427951857

На главную!

Абсцисса и ордината

Абсцисс это – Х(икс) . Ось абсцисс. Горизонтальная ось. Ординат это — Y(Игрек).Ось ординат. Вертикальная ось. Абсцисса и ордината вместе называются координатами точки. .Слово «абсцисса» заимствовано из французского языка в начале XIX века. В свою очередь, фр. abscisse происходит от лат. abscissa, возникшего в результате субстантивации прилагательного после эллипсиса существительного linea (из лат. abscissa linea — «отрезанная, оторванная линия.Слово «ордината» происходит от лат. ordinatus — «расположенный в порядке». Впервые термин «ордината» применил немецкий учёный Г. Лейбниц в 1694 году. Древнегреческий математик Аполлоний Пергский называл параллельные хорды «по порядку проведенными линиями» (от лат. ordinatum apllicatae — «по порядку приложенная»).

Абсцисса и ордината в словарях и энциклопедиях: Абсцисса.

Словарь Ефремовой: Абсцисса это ж. Одна из прямоугольных координат, определяющих положение точки на плоскости или в пространстве (в математике).
Большой энциклопедический словарь АБСЦИССА это — (от лат. abscissa — отрезанная) — одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой x.
Абсцисса Малый академический словарь: Абсцисса это — Одна из трех координат, определяющих положение точки в пространстве. [От лат. abscissa — отсеченная, отрезанная]
Абсцисса в словаре кроссвордиста : 1. Математическая координата точки. (абсцисса, абсцисс)
2. Этот математический термин в переводе с латинского означает «отрезанная». (абсцисса, абсцисс)
Словарь иностранных слов русского языка: абсцисса это — (от лат. abscindere — отрезывать, отделять, отрывать). 1) пространство между ординатой и точкой, положение которой определяют на плоскости. 2) абсцисса – отрезок, одна из трех координат, определяющая положение точки в пространстве. Абсцисс а –о т лат. abscindere, отрывать, отрезывать, отделять. Пространство между точкою, положение которой определяют на плоскости, и ординатою.
Толковый словарь Кузнецова : абсцисса, АБСЦИССА -ы; ж. Математическая Величина, определяющая положение некоторой точки на плоскости или в пространстве по оси X в прямоугольной системе координат .
Толковый словарь Ушакова: Абсцисса, абсциссы, ж. (латин. abscissa, букв. отрезанная) (мат.). Горизонтальный отрезок линии от точки пересечения координатных осей до ординаты искомой точки. На диаграмме роста сети железных дорог года нанесены на оси абсцисс.
Словарь Даля : Абсцисса, ж. лат. математ. часть оси правильной кривой линии, отрезанная ординатою, идущею отвесно к оси.
Абсцисса `Современная энциклопедия абсцисса ж. лат. математ. часть оси правильной кривой линии, отрезанная ординатою, идущею отвесно к оси.
Абсцисса Большая Советская энциклопедия : Абсцисса это (от латинского abscissus — отрезанный)
одна из декартовых координат (См. Координаты) точки, обозначается большей частью буквой х.
Математическая энциклопедия : Абсцисса это- одна из декартовых координат точки.

Абсцисса и ордината в словарях и энциклопедиях: Ордината .

Ордината словарь Ефремовой: Ордината это название одного из двух, трех чисел, определяющих положение точки на плоскости относительно прямоугольной системы координат .
Энциклопедический словарь: Ордината это (от лат. ordinatus — расположенный в порядке) — одна из декартовых координат точки, обычно вторая, обозначаемая буквой y.
Словарь Ушакова : ордината это ординаты, ж. (латин. ordinata — расположенная на равных расстояниях) (мат.). В системе координат аналитической геометрии — перпендикуляр на плоскости, опущенный из точки на ось абсцисс.
Ордината по БСЭ это : Ордината (от лат. ordinatus — расположенный в порядке)
одна из декартовых координат точки, обозначается большей частью буквой y.

источник

Ось абсцисс

Ось абсцисс называется осью частот. На ней откладываются десятичные логарифмы частоты и значения самой частоты в логарифмическом масштабе. В отношении ln ω шкала частот получается линейной, а в отношении частоты ω — логарифмической. Основными единицами измерения по оси частот являются декада и октава.

Декадой называется интервал частот, различающихся между собой в 10 раз.

Октавой называется интервал частот, различающихся между собой в 2 раза.

На шкале частот, построенной в логарифмическом масштабе, длина отрезка, представляющего декаду (октаву), остается одной и той же на любом участке оси частот.

Масштаб декады выбирается с точки зрения удобства построения и допустимой относительной погрешности построения. Общепринятым является масштаб

Расчетные данные для изготовления линейки-шаблона с этим масштабом приведены в табл. 3.5.1. После того, как построена одна декада, остальные декады на шкале частот получаются простым ее повторением.

ω	5
lg ω	0,3	0,48	0,6	0,7	0,78	0,85	0,9	0,95
l	42,5	47,5

Логарифмическая шкала на оси частот не имеет точки с отметкой ω = 0(1^0 = °°). Это позволяет ось ординат проводить через начало любой декады (октавы), что весьма удобно при построении ЛЧХ.

Эта ось называется осью усиления. При построении ЛАЧХ системы или звена за единицу измерения по оси ординат принимается децибел, при построении ЛФЧХ —градус, при этом применяются следующие масштабы:

С соблюдением этих масштабов и производится разметка оси усиления в указанных единицах измерения.

Децибел — логарифмическая единица для оценки отношения двух величин- Значение какой-либо положительной величины в децибелах численно равно десятичному логарифму этой величины, увеличенному в 20 раз. Например, значение общего коэффициента усиления системы K в децибелах определится по формуле

Типовая логарифмическая сетка для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ с масштабами (3.5.5) и (3.5.6) по осям координат изображена на рис. 3.5.1.

Основные характеристики звеньев и систем.

При синтезе и анализе САУ ее расчленяют на типовые звенья, которые различаются динамическими свойствами.

Характеристики типовых звеньев.

За типовые звенья, по-видимому, целесообразно принять такие, которые могут служить основой для построения любых других звеньев, встречающихся на практике. Обычно за основу принимают звено, обладающее одной степенью свободы. Математические процессы в таком звене описываются дифференциальным уравнением не выше второго порядка

В основу классификации звеньев кладётся вид дифференциального уравнения, которым могут описываться весьма разнообразные свойства как по своей функции, так и по своему конструктивному исполнению.

Если принять это уравнение за исходное, то легко вывести уравнения различных типовых звеньев.

Типовые звенья являются звеньями направленного действия: сигналы передаются звеном в одном направлении — со входа на выход.

Типовые звенья подразделяют на пропорциональные (усилительные), апериодические (инерционные), колебательные, интегрирующие, дифференцирующие и форсирующие. Несколько обособленно в этой классификации стоит запаздывающее звено.

Дифференциальные уравнения и основные характеристики типовых звеньев, рассмотренные далее, приведены в табл. 1.

Из рассмотренных типовых звеньев элементарными являются пропорциональное, интегрирующее и дифференцирующее. Все другие звенья можно сформировать из элементарных путем соответствующего соединения их между собой.

Звенья, у которых переходная функция со временем затухает, называются устойчивыми. Типовые звенья всегда устойчивы. Их действие описывается линейными дифференциальными уравнениями с положительными коэффициентами. Исключение составляет интегрирующее звено, которое исходя из условий устойчивости, называют нейтральным. В неустойчивых: звеньях переходный процесс является расходящимся. Действие этих звеньев описывается линейными дифференциальными уравнениями с отрицательными коэффициентами.

Следует заметить, что в зависимости от сигналов, приняты за входной и выходной, а также от принятых при составлении дифференциальных уравнений допущений один и тот же элемент САУ можно описать разными уравнениями, а значит, отобразить различными типовыми звеньями. Например, если для электродвигателя постоянного тока (рис. 2.14) за входной сигнал принято напряжение на якоре и_яво3(> — напряжение возбуждения двигателя), а за выходной — угол поворота а выходного вала и если такой электродвигатель считать безынерционным, то он будет отображен интегрирующим звеном:

Если для этого же электродвигателя за выходной сигнал принять скорость вращения Q = a, то он будет уже представлен безынерционным (пропорциональным) звеном:

Если же при тех же входных и выходных сигналах учесть инерционность электродвигателя, то он должен быть отображен либо двумя последовательно включенными звеньями — интегрирующим и апериодическим:

либо одним апериодическим звеном:

В зависимости от сложности дифференциального уравнения элемента САУ последний может быть представлен одним или несколькими типовыми звеньями, определенным образом соединенными между собой.

Дата добавления: 2014-11-18 ; Просмотров: 746 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

источник

Эта страница посвящена группе геометрических задач, связанных с заданием точек, линий и фигур на координатной плоскости, и является продолжением рассмотрения серии типовых заданий ЕГЭ по математике.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номерами 8 и 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня. Если вы не занимались другими типами этого задания, перейдите по ссылкам в конце страницы.

В этом разделе такое большое количество терминов и определений, что, если выделять их цветом, то изменится фон всей страницы. Просто читайте внимательно весь текст.

Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте,разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Декартовы координаты на плоскости представляют собой две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке О. Это оси координат. Ось Ox называют осью абсцисс, ось Oy — осью ординат. Точку О называют началом координат. Также должен быть задан единичный отрезок — единица измерения длины. С помощью этого отрезка можно измерить расстояние от любой точки на плоскости до каждой из осей координат.

Например, пусть это будет точка A.
Расстояние от точки A до оси ординат называется абсциссой точки A, так как измерять его действительно удобнее на оси абсцисс, опустив на неё перпендикуляр из точки A. Аналогично расстояние от точки A до оси абсцисс называется ординатой точки, и измеряется на оси ординат от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного на неё из точки A. Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, на первом месте стоит абсцисса, на втором ордината — А (x,y). Если точка находится на одной из осей, то её вторая координата равна нулю. Если M точка на оси абсцисс, то M (x,0). Если N точка на оси ординат, то N (0,y). Точка O принадлежит обоим осям, поэтому её координаты (0,0).

В решениях задач этого раздела явно построена координатная сетка. Линии сетки параллельны осям координат, размер клетки равен длине единичного отрезка. Однако, обычно координатная сетка невидима, она не строится реально, а только подразумевается, потому что каждый раз чертить всю сетку, особенно для больших чисел, гораздо дольше и сложнее, чем запомнить основные формулы и правила, характеризующие положение точек, линий и фигур на плоскости.

1) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс.
2) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси ординат.
3) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до начала координат.

Способ I. По определению:
1) Расстояние от заданной точки до оси абсцисс — это ордината точки: y = 8.
2) Расстояние от точки до оси ординат — это абсцисса точки: x = 6.
3) Расстояние от точки A до начала координат (точки О) определяется как корень квадратный из суммы квадратов координат:
r 2 = x 2 + y 2 ; r 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100; r = 10.

Способ II. По рисунку:
Видно, что расстояние от точки A до оси абсцисс — это отрезок AC = BO = 8, расстояние от точки A до оси ординат — это отрезок AB = CO = 6, расстояние от точки A до начала координат — это отрезок ОА, который является гипотенузой треугольника OAC и наxодится по теореме Пифагора:
OA 2 = AC 2 + OC 2 = 8 2 + 6 2 = 100; OA = 10.

Ответы: 1) 8; 2) 6; 3) 10.

Для решения следующих задач нужно вспомнить понятия о симметрии: симметрия относительно точки (центральная симметрия) и симметрия относительно прямой (осевая симметрия).

Центральная симметрия: Точка Х₁ называется симметричной точке Х относительно точки О, если все три точки лежат на одной прямой и ОХ = ОХ₁.
Осевая симметрия: Точка Х₁ называется симметричной точке Х относительно прямой l, если прямая ХХ₁ перпендикулярна прямой l и ОХ = ОХ₁, где О — точка пересечения прямых ХХ₁ и l.

4) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Oy.
5) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Ox.
6) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.
7) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.

4) Точка В (−6, 8) симметрична точке A (6, 8) относительно оси Oy. x_B = −6.
5) Точка C (6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно оси Ox. y_С = −8.
6) Точка D (−6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно начала координат
(точки O). x_D = −6.
7) Точка D (−6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно начала координат
(точки O). y_D = −8.

Ответы: 4) − 6; 5) − 8; 6) − 6; 7) − 8.

8) Найдите длину отрезка, соединяющего точки О (0, 0) и А (6, 8).
9) Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.
10) Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.

8) Длину отрезка можно найти непосредственно по формуле

OA = √(6 − 0) 2 + (8 − 0) 2 = 10; _______________

или по чертежу, где отрезок ОА является гипотенузой треугольника OAB.
(Формула тоже является следствием теоремы Пифагора.)

9) Угол наклона отрезка OA к оси абсцисс равен острому углу АОВ в одноименном прямоугольном треугольнике. sin ∠АОВ = AB/OA (отношение противолежащего катета к гипотенузе). АВ = 8 по чертежу, ОА = 10 из предыдущей задачи. sin ∠АОВ = 8/10 = 0,8.

10) Угол наклона отрезка OA к оси абсцисс равен острому углу АОВ в одноименном прямоугольном треугольнике. cos ∠АОВ = OB/OA (отношение прилежащего катета к гипотенузе). OB = 6 по чертежу, ОА = 10 из предыдущей задачи. cos ∠АОВ = 6/10 = 0,6.

Ответы: 8) 10; 9) 0,8; 10) 0,6.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Длину отрезка найдём непосредственно по формуле

AB = √(− 2 − 6) 2 + (2 − 8) 2 _________________ = √64 + 36 = 10. _______

Замечание: Обратите внимание, что в формулу нужно подставлять координаты с их знаками. А если находить длину отрезка по чертежу, по теореме Пифагора, то нужно брать абсолютную величину длины катетов в клеточках.

Координаты середины отрезка: Пусть A (x_A, y_A) и B (x_B, y_B) — две произвольные точки плоскости и С (x, y) — середина отрезка AB. Координаты точки С можно найти по формулам:

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Ординату точки С находим непосредственно по формуле
y_С = (y_A + y_B)/2 = (8 + 2)/2 = 5.

Замечание: По чертежу ордината середины отрезка определяется по его проекции на ось ординат. y = 5 это середина синего участка на оси Оy. Аналогично абсцисса середины отрезка определяется или по формуле ( 6 + (−2))/2 = 2 или по проекции отрезка на ось абсцисс. x = 2 это середина синего участка на оси Ох.

Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединяющего точки A (6,8) и B (−6,0).

Пусть С — точка пересечения оси Oy и отрезка. Она находится на оси ординат, поэтому её абсцисса x_С = 0. Можно заметить, что x_A + x_B = 6 + (−6) = 0, т.е. абсцисса точки С совпадает с абсциссой середины отрезка. Но тогда и ордината тоже. Находим её по формуле
y_С = (y_A + y_B )/2 = (8 + 0)/2 = 4.

Замечание: Таким рассуждением можно решить задачу без чертежа. Однако не всегда так легко заметить совпадение, и далеко не всегда оно обязано быть. Поэтому такие задачи лучше решать с чертежом. При необходимости можно будет рассмотреть получившиеся прямоугольные треугольники и составить пропорции на основе их подобия.

Любая прямая в декартовых координатах на плоскости задается уравнением

Это уравнение можно переписать иначе:

где d = −c, а если b ≠ 0, то можно в явном виде выразить y и переписать уравнение так:

Коэффициент k в последней записи называется угловым коэффициентом прямой. Если нам известны координаты двух точек, принадлежащих заданной прямой A₁ (x₁, y₁) и A₂ (x₂, y₂), то угловой коэффициент прямой определяется по формуле

А если вы изобразите прямую и эти две точки на чертеже, то легко увидите, что коэффициент k в уравнении прямой равен тангенсу угла, который образует эта прямая с осью Ox.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (−4,0) и (0,4).

Способ I. По формуле:
k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (4 − 0)/(0 − (−4)) = 4/4 = 1.
Способ II. По рисунку:
Треугольник AOB — прямоугольный равнобедренный, следовательно угол ABO = 45 o , и k = tg45 o = 1.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2,0) и (0,2).

Способ I. По формуле:
k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (2 − 0)/(0 − 2) = 2/(−2) = −1.
Способ II. По рисунку:
Треугольник AOB — прямоугольный равнобедренный, следовательно угол ABO = 45 o , а угол между прямой и осью абсцисс это угол xBA = 180 o − 45 o = 135 o и k = tg135 o = −1.

16) Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.
17) Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Oy.

16) Точка пересечения прямой с осью Ox находится на оси абсцисс, следовательно её ордината y = 0. Подставим в уравнение прямой 3x + 2·0 = 6. Отсюда 3x + 0 = 6; 3x = 6; x = 2.
17) Точка пересечения прямой с осью Oy находится на оси ординат, следовательно её абсцисса x = 0. Подставим в уравнение прямой 3·0 + 2y = 6. Отсюда 0 + 2y = 6; 2y = 6; y = 3.

Ответы: 16) 2; 17) 3.

Как вы уже убедились, задачи этого типа можно решать как с чертежом, так и без него. В условии задачи чертеж также может быть, а может и отсутствовать. Чтобы уберечься от случайных ошибок, лучше вообще решать двумя способами, или, по крайней мере, делать чертеж для проверки ответа, полученного по формулам. Однако задачи с фигурами на координатной плоскости я рекомендую всегда делать с чертежом, чтобы легче было применить свои знания из планиметрии.

Точки O (0,0), A (10,0), B (8,6), C (2,6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Так как y_O = y_A и y_B = y_C, то обе эти линии параллельны оси абсцисс и параллельны друг другу, значит именно они являются основаниями трапеции. Длина отрезка OA = x_A − x_O = 10 − 0 = 10. Длина отрезка CB = x_B − x_C = 8 − 2 = 6. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований DE = (OA + CB)/2 = (10 + 6)/2 = 8.

Замечание: Если правильно нарисован чертеж, то можно выбирать из нескольких способов геометрического решения.

Продолжить и повторить решение типовых задач ЕГЭ по математике на темы:

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.

источник

В геодезии за ось абсцисс принимается направление среднего осевого меридиана зоны, а за ось ординат – направление экватора.

Предмет и задачи геодезии

Геодезия – наука об измерениях на земной поверхности, проводимых с целью определения формы и размеров Земли, составления планов и карт, а также решения различных инженерных задач на местности.

Определение формы и размеров Земли входит в задачи высшей геодезии. Вопросы, связанные с составлением планов и карт и с решением инженерных задач, относятся к геодезии.

Геодезические работы делятся на полевые и камеральные.

Полевые работы состоят из измерений горизонтальных и вертикальных углов, а также горизонтальных, вертикальных и наклонных расстояний. Камеральные работы состоят из вычислений результатов полевых измерений и графических построений.

Геодезия тесно связана с рядом других наук – математикой, физикой, астрономией, географией, геологией, геоморфологией и др.

Инженерная геодезия — решает задачи, связанные:

· с построением опорной геодезической основы для проведения съёмочных и разбивочных работ;

· составлением крупномасштабных планов и профилей для проектирования инженерных сооружений;

· производством разбивочных работ в плане и по высоте при строительстве зданий и сооружений;

· обслуживанием строительно-монтажных операций;

· составлением исполнительных чертежей объектов;

· наблюдениями за деформациями в процессе строительства.

Основные сведения о форме и размерах Земли

Предметом изучения геодезии являются геометрические свойства поверхности Земли.

Физическая поверхность Земли состоит из суши и водной поверхности и имеет сложную форму.

Обобщённое представление о форме Земли можно получить, воспользовавшись понятием «уровенная поверхность».

Уровенной поверхностью называется замкнутая поверхность, огибающая Землю, нормальная к отвесным линиям в любой своей точке.

В геодезии особое значение имеет уровенная поверхность, совпадающая со средним уровнем океанов, находящихся в состоянии покоя. Такая замкнутая поверхность, продолженная под материками перпендикулярно к направлению отвесной линии в каждой точке, называется основной уровенной поверхностью.

Тело, ограниченное основной уровенной поверхностью, называют геоидом.

Геоид не совпадает ни с одной математической фигурой и представляет собой неправильную форму.

Математическая форма Земли соответствует поверхности эллипсоида, который называется референц – эллипсоид Красовского.

Системы координат

Положение точек на земной поверхности определяется в различных системах координат:

· Система географических координат – за начало отсчёта принимается Гринвичский меридиан и плоскость экватора.

· Система геодезических координат определяет положение точек на поверхности эллипсоида вращения.

· Зональная система прямоугольных координат Гаусса (рис.1).

Чтобы установить связь между географическими и прямоугольными координатами, применяют способ проектирования поверхности земного шара на плоскость по частям, которые называют зонами (рис.1). счёт зон ведётся на восток от Гринвичского меридиана.

Прежде чем спроектировать такую зону на плоскость, её проектируют на поверхность цилиндра. После чего цилиндр развёртывают на плоскости и получают на ней изображение проекции данной зоны. Такая проекция называется проекцией Гаусса – Крюгера.

В такой системе начало координат для всех зон принимается в точке пересечения осевого меридиана данной зоны с экватором. Координатными осями являются ось абсцисс – Х и ось ординат – У (рис.2).

Абсциссы, отсчитываемые от экватора к северному полюсу, считаются положительными, к южному – отрицательными. Значения ординат от осевого меридиана на восток – положительные, на запад – отрицательные.

Рис.2. Зональная система координат

· Система прямоугольных координат (рис.3).

В геодезии за ось абсцисс принимается направление среднего осевого меридиана зоны, а за ось ординат – направление экватора.

Рис. 3 Система прямоугольных координат

Оси координат делят плоскость чертежа на четыре части, которые называются координатными четвертями: I – CВ, II – ЮВ, III – ЮЗ, IV – СЗ (рис.3).

· Полярная система координат.

Положение любой точки на плоскости определяется радиус-вектором – r и углом – β, отсчитываемым по ходу часовой стрелки от линии – ОХ (полярной оси) до радиуса -вектора (рис.4).

рис.4 Полярная система координат

Высоты точек

Высоты точек могут быть абсолютными и условными. Если высота точки определена от уровенной поверхности, то она считается абсолютной. От любой другой поверхности – условной.

Превышение (h) – разница между высотами точек.

Числовые значения высот точек называются отметками.

В России высоты точек отсчитываются от уровня Балтийского моря.

Рис. 5 Абсолютные и условные отметки.

Дата добавления: 2016-09-26 ; просмотров: 4583 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

источник

Ось абсцисс разделена на 100 равных частей. [16]

Ось абсцисс разбивают на некоторое число шагов с равными или неравными интервалами. В пределах каждого шага функцию считают постоянной. Осреднение проводят по равенству площадей трапеции и прямоугольника для каждого шага. Среднее значение ординаты на каждом шаге проецируют на ось ординат и полученные точки соединяют с левым концом выбранного отрезка интегрирования, расположенного вдоль оси абсцисс влево от начала координат. [17]

Ось абсцисс разбивает плоскость на две полуплоскости. Принято полуплоскость у 0 называть верхней полуплоскостью, а полуплоскость у С 0 — нижней полуплоскостью. [18]

Оси абсцисс и ординат ( рис. 6.1.2) являются осями наработки г. По оси абсцисс откладывается наработка электрооборудования так, если бы оно работало в нормативных условиях эксплуатации, а по оси ординат скорректированное значение наработки с учетом условий эксплуатации. [19]

Ось абсцисс ( концентрационная) на этом рисунке двойная: содержание углерода и содержание цементита. [20]

Оси абсцисс смещены таким образом, что линии, соответствующие однородной прецессии, на всех пяти записях находятся на одной вертикали. [21]

Ось абсцисс должна быть проведена так, чтобы площади кривой по обе стороны оси были равны, так как поток полюса одной полярности должен быть равен потоку полюса другой полярности. [23]

Ось абсцисс разбивают на некоторое число шагов с равными или неравными интервалами. В пределах каждого шага функцию считают постоянной. Осреднение проводят по равенству площадей трапеций и прямоугольника для каждого шага. Среднее значение ординаты на каждом шаге проецируют на ось ординат и полученные точки соединяют с левым концом выбранного отрезка интегрирования, расположенного вдоль оси абсцисс влево от начала координат. [24]

Ось абсцисс разбивают на некоторое число шагов с равными или неравными интервалами. В пределах каждого шага функцию считают постоянной. Осреднение проводят по равенству площадей трапеции и прямоугольника для каждого шага. Среднее значение ардинаты на каждом шаге проецируют на ось ординат и полученные точки соединяют с левым концом выбранного отрезка интегрирования, расположенного вдоль оси абсцисс влево от начала координат. [25]

Ось абсцисс , на которой откладывается суммарный объем поглощенного в процессе восстановления водорода, разбивается на три равных участка, на которых изображена кинетика восстановления нитробензола; на втором и третьем участках — кинетика восстановления нитрозобензола и на третьем участке — кинетика восстановления фенилгидроксиламина. Аналогично расположены кривые эдс. [26]

Ось абсцисс — число эквивалентов основания, приходящееся на 1 моль фосфорной кислоты. [27]

Ось абсцисс , на которой откладываются молярные доли компонентов смеси, ограничена отрезком ОО, равным 1, и дает состав и жидкои и паровой фазы. [28]

Оси абсцисс и ординат графика вычерчиваются сплошными линиями без стрелок на концах. Иногда, когда это необходимо, графики снабжаются координатной сеткой, соответствующей целесообразно выбранному масштабу. Вместо сетки можно просто нанести масштаб короткими штрихами на оси координат. Исключение составляют графики, ось абсцисс или ось ординат которых служит общей шкалой для двух величин. Следует избегать дробных значений масштабных делений по осям координат. [29]

Ось абсцисс ( частот) представлена в логарифмическом масштабе, а ось ординат, после соответствующего пересчета амплитуда сигнала ( дБ) — давление ( Па), в реальных единицах давления. [30]

источник

Главная

Шутки

Форум

План занятий

Координаты. Система координат. Декартовы координаты.

Оси координат: ось абсцисс , ось ординат. Начало

координат. Масштаб. Абсцисса и ордината точки.

Графическое представление функций. График функции.

Координаты. Две взаимно перпендикулярные прямые XX ’ и YY ’ ( рис.1 ) образуют систему координат, называемых декартовыми координатами. Прямые XX ’ и YY ’ называются осями координат. Ось XX ’ называется осью абсцисс, ось YY ’ – осью ординат. Точка O их пересечения называется началом координат. На осях координат выбирается произвольный масштаб.

Найдём прекции P и Q точки M на оси координат XX ’ и YY ’ . Отрезок OP на оси XX ’ и число x , измеряющее его длину в соответствии с выбранным масштабом, называется абсциссой точки M ; отрезок OQ на оси YY ’ и число y , измеряющее его длину — ординатой точки M . Величины x = OP и y = OQ называются декартовыми координатами ( или просто – координатами ) точки M . Они считаются положительными или отрицательными в зависимости от принятых положительного и отрицательного направлений осей координат. Положительные абсциссы обычно располагаются на оси XX ’ справа от начала координат; положительные ординаты – вверх по оси YY ’ от начала координат. На рис.1 видно: точка M имеет абсциссу x = 2 и ординату y = 3; точка K имеет абсциссу x = — 4 и ординату y = — 2.5. Это можно записать так: M ( 2, 3 ), K ( — 4, — 2.5 ). Таким образом, каждой точке на плоскости соответствует пара чисел ( x , y ), и наоборот, каждой паре чисел ( x , y ) соответствует одна точка на плоскости.

Графическое представление функций.

Чтобы представить функцию y = f ( x ) в виде графика, нужно:

1) Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу:

2) Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,

отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на

оси Х и значения ординат на оси Y ( рис.2 ). В результате в нашей системе

координат будет построен ряд точек A , B , C , . . . , F .

3) Соединяя точки A , B , C , . . . , F плавной кривой, получаем график заданной

Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек, координаты которых M ( x , y ) связаны заданной функциональной зависимостью .

источник

Найти абсциссу точки. Друзья! В этой статье для вас размещено ещё несколько заданий связанных с координатной плоскостью. Решение данного типа задач, входящих в состав ЕГЭ очень простенькое – решаются они практически сходу в течение минуты. Если вы забыли, что такое абсцисса и ордината, то посмотрите эту статью .

Суть рассматриваемых ниже задач такая – даны фигуры на плоскости, заданы координаты вершин (не всех), необходимо определить абсциссу или ординату неизвестной вершины. Также имеются задачи на определение длины отрезка. Если у вас развито визуальное (зрительное) представление, то решение вы «увидите» сразу посмотрев на эскиз.

Если есть сложности с визуальным представлением фигур на координатной плоскости, то моя вам «универсальная» рекомендация – постройте фигуру по данным координатам на листе в клетку, далее вы без труда определите координаты (местонахождение) вершины или оговоренной в условии точки и ответите на поставленный вопрос. Посмотрите, как это будет выглядеть такое построение:

Например, абсцисса и ордината точки Р (точка пересечения диагоналей параллелограмма) определяется без труда, соответственно 3 и 4. Рассмотрим задачи:

27673. Точки O (0;0), A (6;8), C (0;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Точка В смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 2 единицы (также как и точка А смещена относительно точки С), значит её ордината будет равна 0 + 2 = 2.

27674. Точки O (0;0), A (6;8), B (4;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

Ордината точки С равна длине стороны ОС. Известно, что противолежащие стороны параллелограмма равны, то есть ОС = АВ = 8 – 2 = 6.

Точки O (0;0), A (6;8), B (6;2), C (0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Обратите внимание на то, что в условии сказано, что дан четырёхугольник, то есть как бы подразумевается, что это возможно это и не параллелограмм.

Но по координатам видно, что это не что иное, как параллелограмм.

*Для убедительности можно построить данную фигуру на координатной плоскости на листе в клетку.

Известно, что точка пересечения диагоналей равноудалена от противолежащих сторон (лежит посередине). Поэтому абсцисса точки Р будет равна 6:2 = 3.

27677. Точки О(0;0), А(10;8), С(2;6) и В являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки В.

Абсцисса точки В на 2 меньше абсциссы точки А (также как абсцисса точки О меньше абсциссы точки С), значит она равна 10 – 2 = 8.

27679 (80). Точки O (0;0), A (10;8), B (8;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и ординату точки C.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оХ на 2 единицы (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её абсцисса равна 0 + 2 = 2.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 6 единиц (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её ордината равна шести.

Ответ: абсцисса равна 2, ордината равна 6.

27681 (2). Точки O (0;0), B (8;2), C (2;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и ординату точки A.

Точка А смещена относительно точки С в положительном направлении по оси оХ на 8 единиц (также как и точка В смещена относительно точки О), значит её абсцисса равна 2 + 8 = 10.

Точка А смещена относительно точки В в положительном направлении по оси оУ на 6 единиц (также как и точка С смещена относительно точки О), значит её ордината равна 2 + 6 = 8.

Ответ: Абсцисса точки А равна 10, ордината равна 8.

27683 (4). Точки O (0, 0), A (10, 8), B (8, 2), C (2, 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу и ординату точки P пересечения его диагоналей.

Можно использовать формулу координат середины отрезка. Формула:

Ответ: абсцисса равна 5, ордината равна 4.

27672. Точки O (0;0), B (6;2), C (0;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A .

27675. Точки O(0;0), A(6;8), B(6;2), C(0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

27678. Точки O(0;0), A(10;8), C(2;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

27685. Точки О(0;0), А(6;8), В(8;2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Можно использовать формулу координат середины отрезка, а затем зная их вычислить длину отрезка по соответствующей формуле. Но будет проще и быстрее построить фигуру на координатной плоскости на листе в клетку и вычислить длину отрезка по теореме Пифагора.

27686. Точки O(0;0), A(10;0), B(8;6), C(2;6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Можно использовать формулы координат середины отрезка и затем длины отрезка или построить трапецию н листе в клетку, но в данном случае удобно воспользоваться формулой средней линии трапеции.

источник

Симметрия относительно оси ОХ (оси абсцисс)

Каждой точке (х; у) графика у = f ( x ) соответствует единственная точка (х; — у) графика у =- f ( x ) и наоборот. Точки (х; у) и (х; — у) симметричны относительно оси ОХ. Значит, графики у = f ( x ) и y = — f ( x ) симметричны относительно оси ОХ.

Построить график функции у = — .

Строим график функции у = , а затем строим симметрично относительно оси ОХ.

Симметрия относительно оси ОУ (оси ординат)

Каждой точке (х; у) графика у = f ( x ) соответствует единственная точка (-х; у) графика у = f (- x ) , и наоборот. Но точки (х; у) и (-х; у) симметричны относительно оси ОУ, значит, графики у = f ( x ) и у = f (- x ) симметричны относительно оси ОУ.

Построить график функции у = .

Строим график функции у = , а затем строим симметрично относительно оси ОУ.

Построить график функции у = —

Выполним ряд последовательных преобразований:

строим симметрично относительно оси ОУ, т. е. получаем график функции у = ;

строим симметрично относительно оси ОХ, т.е. получаем искомый график функции у = — .

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс

Пусть дан график функции у = f ( x ) .

Чтобы построить график функции у = f ( x + a ) , где а – некоторое данное число, достаточно график функции у= f ( x ) перенести параллельно направлении оси ОХ на расстояние в положительном направлении, если а а >0.

Построить графики функций у = ( х — 3)² и у = ( х + 1)².

Строим график функции у = х ² (пунктиром). Переносим его дважды: в положительном направлении оси ОХ на расстояние, равное 3, и получаем график у = ( х – 3)²; в отрицательном направлении оси ОХ на расстояние, равное 1, и получаем график у = ( х + 1)².

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат

Пусть дан график функции у = f ( x ) .

Чтобы построить график функции у = f ( x ) + a , где а – некоторое данное число, достаточно график функции у = f ( x ) перенести параллельно оси ОУ на расстояние в положительном направлении, если а > 0, и в отрицательном, если а 0.

Построить график функции у = 5+ .

Строим график у = (пунктиром). Переносим его в положительном направлении оси ОХ на расстояние, равное 4, и получаем график у = , а затем переносим в положительном направлении оси ОУ на расстояние, равное 5, получаем искомый график у = 5 + .

Сжатие (растяжение) вдоль оси ординат

Пусть дан график функции у = f ( x ) .

Чтобы построить график функции у = А· f ( x ) , где А>0, достаточно построить график функции у = f ( x ) и увеличить его ординаты в А раз при А>1 (растянуть график вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при А Пример 6.

Построить графики функций у = 3 х ² и у = х ².

Строим график у =х ² (пунктиром), а затем растягиваем его вдоль оси ординат в 3 раза, получаем у = 3 х ². График у = х ² получаем из графика у =х ² путём сжатия вдоль оси ординат в 3 раза.

Сжатие (растяжение) вдоль оси абсцисс

Пусть дан график функции у = f ( x ) .

Чтобы построить график функции у = f ( kx ) , где к >0, достаточно построить график функции у = f ( x ) и уменьшить его абсциссы в к раз при к> 1(сжать график вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при к 1(растянуть график вдоль оси абсцисс).

Построить графики функций у = и у = .

Построим график у = (пунктиром), а затем сжимаем график вдоль оси абсцисс в 2 раза, получим график у = . Если растянуть график у = вдоль оси абсцисс в 2 раза, то получим график у = .

Задания для самостоятельного решения

Построить графики функций:

Занятия 7 – 9. Построение нестандартных графиков

Форма работы: лекция с элементами беседы, практические занятия, работа в группах.

Иногда в формулу, задающую некоторую функцию, входит знак абсолютной величины. Приведём ряд приёмов, позволяющих облегчить построение графиков в этом случае.

Задан график функции у = f ( x ) .

1) Чтобы построить график функции у = f ( ), достаточно часть графика у = f ( x ) ,лежащую в правой полуплоскости х 0 оставить без изменения, а в левой полуплоскости х у = f ( x ) относительно оси ординат.

Действительно, функция у = f ( ) – чётная, так как f ( ) = f ( ), т.е. её график симметричен относительно оси ординат.

Построить график функции у = х ² -3 +2

Строим график функции у = х ²-3 х +2 для х 0, а затем кривую, симметричную с построенным графиком относительно оси ОУ, и получаем график функции у = х ² -3 +2 (следует учесть, что х ² = ²).

2) Чтобы построить график функции у = , достаточно все части графика у = f ( x ) , для которых у 0, оставить без изменения, а те части, при которых у Пример 2.

Построить график функции у = .

Строим график у = , а часть графика, лежащую над осью абсцисс у 0, оставляем без изменения и к ней достраиваем линию, симметричную относительно оси абсцисс с той частью, которая лежит под осью абсцисс ( у = f ( x ), достаточно те части графика у = f ( x ) , на которых f ( x ) 0, оставить без изменения и к ним построить кривые, симметричные с ними относительно оси абсцисс. Часть графика функции у = f ( x ) , где f ( x ) Пример 3.

Построить график функции = — х ² -3 х +10.

Строим график у = — х ² -3 х +10, ту часть графика, на которой у 0(-5 ), оставляем без изменения, а то, что расположено ниже оси абсцисс отбрасывается. Затем построенный график отображаем симметрично относительно оси абсцисс.

4) Чтобы построить графики функций у= , = , = f ( ), = достаточно последовательно применять преобразования рассмотренные выше.

Построить график функции у= .

Строим график у =х ² -4 х+ 4, оставляем ту часть графика, где х 0, остальное отбрасываем. Для оставшейся части графика строим симметрично относительно оси ОУ, получаем график у =х ²- 4 +4. Затем те части графика, где у Пример 5.

Постройте график функции у = f ( x ) , где

Построение графика осуществляется по частям. Сначала построим параболу у = — х ²- 4 х — 3 и выделим её часть на луче (- ]. Затем строим прямую у = х +1 и выделяем её часть на полуинтервале , и строим гиперболу у = , так же выделяем её часть на открытом луче . Таким образом, выделенный график и есть искомый.

Постройте график функции у = f ( x ) , где

График данной функции состоит из двух частей: параболы у = х ², у которой исключена точка х =2 и точки с координатами х =2 и у =1.

Искомая функция терпит разрыв в точке 2 (при х=2).

6) Есть функции, которые имеют разрыв на бесконечном множестве точек. К таким функциям относятся у= и у = .

Сначала введём определения.

Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х .

Дробной частью числа х называется разность между числом х и его целой частью, т.е. = х — .

Область определения – множество R действительных чисел.

Область значений функции – множество Z целых чисел.

Область определения – множество действительных чисел.

Область значений функции – промежуток .

Построить график функции у =[х 2 ].

Функция является чётной, т.к. f (- x )=[(- x ²)]=[ x ²]= f ( x ).

Построить график функции у =.

Функция является чётной, т.к. f (- x )=== f ( x ).

Задания для самостоятельного решения

Занятия 10 – 12. Задачи на геометрическое место точек

Форма работы: лекция с элементами беседы, практические занятия, работа в группах.

Каждое решение уравнения с двумя переменными или неравенства с двумя переменными можно изобразить точкой на координатной плоскости. Множество решений изображается множеством точек координатной плоскости.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, удовлетворяющая определённым условиям.

Построить геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнениям, неравенствам или системам неравенств.

Заметим, что х 0, у 0; кроме того, обе дроби могут принимать значения только 1 или -1. Дроби одновременно равны 1, если х >0 и у> 0, и одновременно равны -1, если х у 0. График представляет собой I-ю и III- ю координатные четверти без границ (рис.1).

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей:

График представляет собой «I- ю четверть с хвостиком» (рис.2).

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей:

х ≥0 х ² + у ² -2‌ х +2 у≤ 0 ( х- 1)²+( у +1)² ≤ 2.

х х ² + у ² +2‌ х +2 у≤ 0 ( х+ 1)²+( у +1)² ≤ 2.

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей:

х ≥ 0 и у ≥ 0 х ² + у ² — 4 х — 6 у ≤ 23;

х у > 0 х ² + у ² +4 х — 6 у ≤ 23;

х > 0 и у х ² + у ² — 4 х + 6 у ≤ 23.

Заданная фигура симметрична относительно каждой из осей координат.

И з определения модуля числа следует, что данная система равносильна системе -3 ≤ 3 у – х ≤ 3

Рассмотрим каждое неравенство:

Неравенство задаёт на координатной плоскости полосу, заключённую между параллельными прямыми

Значит, множеством точек, которое задаёт система неравенств, является пересечение полос, представляющее собой параллелограмм.

Задания для самостоятельной работы

Изобразить в плоскости О xy множество всех точек, координаты которых удовлетворяют следующим условиям:

Занятия 13 – 15 . Графическое решение уравнений, неравенств и их систем

Форма работы: лекция, практические занятия, работа в группах.

Графический метод даёт значительные возможности в образовательном, эстетическом и развивающем отношениях. Он позволяет увидеть, то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками.

В этом разделе учащимся предлагается знакомство с задачами, содержащими параметр. Данный тип задач набирает всё большую популярность. Обычно, не так сложно решить задачу при каком то одном фиксированном значении параметра, но как это сделать для всех значений параметра сразу, ведь обычно их число бесконечно. Будучи фиксированным, но неизвестным, параметр имеет как бы двойственную природу. Эта дилемма ставит по началу в тупик многих учащихся. Решение таких задач развивает логическое мышление, вырабатывает навыки исследовательской деятельности.

Решить систему неравенств:

х ² + у ² ≤4 х+ 2 у – 4. ( х – 2)²+ ( у – 1)²≤1.

х ² + ( у – 1)²=1 – уравнение окружности с центром (0; 1) и R=1;

х ² + ( у – 1)²≤1 – область внутри окружности.

( х – 2)²+ ( у – 1)²=1 — уравнение окружности с центром (2;1) и R=1;

( х – 2)²+ ( у – 1)²≤1 — область внутри окружности.

Р ешение системы неравенств является точка пересечения областей, т.е. (1;1).

Найти все а, при которых неравенство > 5 не имеет решений на [-1; 2].

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

х ² — 2 х +а > 5 ( х – 1)² + а – 6 >0,

х ²- 2 х + а х – 1)² +а + 4 в1 ≤ -4, а — 6 ≤ — 4,

Н айти площадь фигуры: х ² + у ² ≤ 4( х + у -1),

Преобразуем, первое неравенство и построим множество точек, координаты которых удовлетворяют данным условиям.

( х -2)² + ( у – 2)² ≤ 4, S = = R² + h·AB = ·2² + ·2·4=2 +4

При каких а уравнение имеет ровно три корня.

Уравнение равносильно совокупности уравнений:

а +4 х — х ² — 1 = 0, а = х ² — 4 х + 1,

П остроим графики уравнений.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

3 — ≥ х ² имеет хотя бы одно отрицательное решение.

Построим график неравенства в осях хОа:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

З аметим, что пересечение парабол происходит на прямой а = х . Берём ту часть области между параболами, где х Ответ : а [ -3 ; 3).

Задания для самостоятельного решения

Решить при всех а уравнение (ответ: а а =1 – х =1, а > 0 – х = а +1 и х = 1 – а ).

При каждом а определить число корней уравнения: (ответ: при а а > 1 – нет решении; при а = 0 – три решения; 0 а а = 1 – два решения).

Сколько решений имеет система в зависимости от а

(ответ: а — нет решений; а = 1 и а = — четыре; а — восемь)

Найти площадь фигуры, удовлетворяющей неравенству

При каких значениях b система имеет ровно три решения

Занятие 16 – 17 . Итоговое занятие

Форма работы: дифференцированный зачёт, демонстрация творческих работ

На данном занятии необходимо подвести итоги, соответствующие целям и задачам курса, а также провести анкетирование, проанализировать и сравнить с результатами вводного занятия. Полученные данные диагностики позволят выявить степень значимости программы курса для учащихся.

Во время зачёта учащиеся могут пользоваться своими конспектами, обращаться за помощью к преподавателю, что в целом позволит создать более непринуждённую обстановку и будет способствовать положительному результату занятий.

Для демонстрации творческих работ учащиеся могут использовать мультимедийный проектор.

Карточки-задания для проведения зачёта

Построить график функции y =2 · ( x +1) 2 -1 (последовательное преобразование графика y = x 2 )

Построить график функции y = x + (сложение графиков)

Построить график функции y = (деление графиков)

Построить график функции y =‌‌‌│ x 2 — x │ ( преобразование графика функции y = x 2 — x )

Построить график функции │ y │=4-│ x │ (последовательное преобразование графика y = x )

Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ x │ — │ y │= 3 (раскрыть последовательно модули)

Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ x — y │ ≤3

Н айти площадь фигуры, заданной неравенством │ x │+ │ y │ ≤ 1

Построить график функции y = x +

Построить график функции y =

Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ y │ ≥ │ x 2 -4x │

Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ y +1│ · │ x -2│ ≥1

Р ешить систему неравенств

Найти значения а , при каждом из которых уравнение x — + a = 0 имеет ровно одно решение. Ответ: а (- ; 1)

При всех значениях а решить уравнение │ x +1│+а│ x -2│=3

источник

Цели:

познакомить с историей возникновения и развития понятия «координаты» и «координатной плоскости»;

показать историческую необходимость возникновения этих понятий;

показать взаимосвязь с другими школьными предметами;

дать понятия координатной плоскости и координаты точки;

научить строить точки на координатной плоскости, записывать и читать их координаты.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: репродуктивный, проблемный, объяснительно-иллюстративный.

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил
ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».
(Я.А. Каменский).

На нашем уроке присутствуют историк, литератор, библиограф. (Можно привлечь учащихся старших классов).

1. Проверка домашнего задания.

а) Определить по карте координаты городов: Москва( 56° с.ш., 38° в.д.), Хабаровск (48 с.ш., 135 в.д.), Санкт-Петербург (60° с.ш., 30° в.д.), Владивосток (43 с.ш., 132 в.д.) и показать на физической карте их расположение, Озёры (54,8° с.ш., 38,6° в.д.) и показать на карте Московской области его расположение.

б) Что означает выражение «Оставьте мне ваши координаты?»

Собеседник должен оставить адрес или номер телефона, которые и считаются в этом случае его координатами, т.е. по этим данным человека можно найти.

в) Все вы имеете представление о шахматной доске. На шахматной доске определить положение каждой фигуры.

(Приготовить презентацию для историка, литератора, библиографа и показывать во время их выступления).

Мы с вами видим, чтобы найти положение города или другого предмета на плоскости необходимо знать его координаты. Об этом говорится и в стихотворении Константина Симонова «Сын артиллериста».

Предоставляем слово литератору. Он познакомит с отрывком из этого стихотворения, которое хорошо вам известно из уроков литературы.

Всю ночь, шагая как маятник,
Глаз майор не смыкал,
Пока по радио утром
Донёсся первый сигнал:
«Всё в порядке, добрался,
Немцы левей меня,
Координаты (3;10),
Скорее давайте огня!
Орудия зарядили,
Майор рассчитал всё сам.
И с рёвом первые залпы
Ударили по горам.
И снова сигнал по радио:
«Немцы правей меня,
Координаты (5; 10),
Скорее ещё огня!
Летели земля и скалы,
Столбом поднимался дым.
Казалось, теперь оттуда
Никто не уйдёт живым.
Третий сигнал по радио:
«Немцы вокруг меня,
Координаты (4; 10),
Не жалейте огня.
Майор побледнел, услышав:
(4;10) — как раз
То место, где его Лёнька
Должен сидеть сейчас.

А можно ли по одной координате точно определить положение точки на плоскости?

Трудно, а иногда и невозможно.

Послушайте о чём говорилось в найденной записке в романе Жюля Верна «Дети капитана Гранта»: » 7 июня 1862 года трёхмачтовое судно «Британия» Глазго потерпело крушение гони южн Капитан Гр два матроса брошен этот документ долготы и 37° 11′ широты окажите им помощь погибнут».(Записку включить в презентацию).

Точное положение точки на плоскости определяют две координаты.

Для точного определения положения точки на плоскости нужно иметь координатную плоскость.

а) проведём две перпендикулярные координатные прямые или оси — ОХ и ОУ. ОХ- горизонтальная, ОУ — вертикальная.

б) Точка О — точка их пересечения.

Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

М(х;у) — точка координатной плоскости, (х;у) — её координаты.

х — абсцисса, ОХ — ось абсцисс.

у — ордината, ОУ — ось ординат.

в) отметить на построенной координатной плоскости точки А (2;3), В(6;0), Д(-2;2), Р(-3;3), Т(0;-5), С(4;-4), О(0;0), К(-5;-5), F( 2;-3).

Оси координат разбивают плоскость на 4 части — 4 четверти — 4 координатных угла. Отсчёт четвертей идёт против часовой стрелки:

г) Назовите точки, лежащие в I четверти, во II , в III, в VI.

д) Назовите точки, лежащие на осях.

Стр. 243 второй абзац, стр. 244 со слов: «Эту пару:», прочитать четвёртый абзац.

4. Физминутка (для улучшения мозгового кровообращения) .

-И.п. — сидя на стуле, на счёт «раз» — голову наклонить направо; «два» — и. п.; «три» — голову наклонить налево; «четыре» — и.п.; «пять» — голову наклонить вперёд, плечи не однимать; «шесть» — и.п. Повторить 3-4 раза, Темп медленный.

— И.п. — сидя на стуле руки на поясе; «раз» — поворот головы направо; «два» — и. п.; «три» — поворот головы налево; ; «четыре» — и.п. Повторить 3-4 раза, Темп медленный. (Можно под музыку, желательно классическую).

5. Историк познакомит вас с возникновением понятия » координатная плоскость». Предоставим ему слово.

Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт. Более чем за 100 лет до нашей эры греческий учёный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу и обозначать их числами. Уже во 2ом веке греческий астроном Клавдий Птолемей пользовался широтой и долготой в качестве координат.

В 14 веке французский математик Оресм ввёл, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось очень продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Точка плоскости заменяется парой чисел (х;у), т.е. алгебраическим объектом.

Основная заслуга в освоении метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые — осями координат, ось ОХ — ось абсцисс, ось ОУ — осью ординат. Числа х и у называют декартовыми координатами точки (х;у).

6. Предоставим слово библиографу.

Декарт далеко не сразу нашёл своё место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив колледж в Ла-Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь, а затем бросает всё ради занятий наукой.

Декарт хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому, овладевшему им, решить любую задачу. Математике в своей системе он отводил особое место, считая её принципы установления истины образцом для других наук.

Главное достижение Декарта — построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводятся на язык алгебры при помощи метода координат. Этот метод позволяет быстро с помощью несложных вычислений ввести основные свойства линий второго порядка (эллипса. гиперболы, параболы). Но у него в точном виде ещё не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Немалой его заслугой было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: а, в, с — для коэффициентов; x^2,y^5,a^9 — для степеней.

Интересы Декарта не ограничиваются математикой, а включают механику, оптику, биологию.

В 1649 году после долгих колебаний он переезжает в Швейцарию. Это решение оказалось для его здоровья роковым. Чкркз полгода Декарт умер от пневмонии.

Чтобы построить систему координат, необходимо провести две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ.

Ох — ось абсцисс, ОУ — ось- ординат

Литература.

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург Математика. 6 класс.

С.А. Авилова, Т.В. Калинина. Игровые и рифмованнык формы физмческих упражнений.

И.Я. Депман. Из истории математики.

С.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках.

Д.Я. Стройк. Краткий очерк истории математики.

К. Симонов. Сборник стихотворений.

источник