Как найти точку пересечения с точкой абсцесс

Исследование и изображение кривой,

Заданной параметрически

Курсовая работа

Курсовая работа защищена на оценку «_________ » «__»_________2014 г.

Исполнитель:Бажина Т.О., студентка Б-21 группы математического факультета очной формы обучения Руководитель:доктор физико-математических наук, профессор Мухин Ю.Н.

Исследование кривой…………………………………………………………5

2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой x=y

4.Точки пересечения с осями координат……………………………………….9

5. Поведение на концах области определения………………………………. 9

9.Вертикальные и горизонтальные касательные………………………………14

10.Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб…………………………16

11.Таблица поведения кривой…………………………………………………..18

Библиографический список источников…………………………………. 21

В доисторические времена человек наблюдал за природными явлениями, формой каких-либо предметов или физических тел. Лучи света, очертания стволов деревьев, листьев растений, линия горизонта, дуга радуги – все это непосредственно привлекало первобытных людей. Эти явления, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления линии.

История развития изучения кривых обширна. Она захватывает почти 40 столетий и связана с именами таких великих математиков как Менехм, Архимед, Декарт, Брианшон, Паскаль, Штейнер, Шаль, Понселе и другие.

В настоящее время в курсах высшей математики широко освещаются методы построение графика функции. Вместе с тем построение кривых, задаваемых параметрически, уделяется мало внимания, и многие стороны этого более сложного исследования почти не затрагиваются. Как следствие, практическая работа, связанная с параметрически заданными кривыми и их построения, представляют собой определенные трудности. В связи с этим тема работы является актуальной.

Для нас, как для будущих учителей математики, исследование и изображение кривых является также немаловажным и выполняет первостепенные функции. Исследование кривой развивает аналитическое и логическое мышление, позволяет правильно конкретизировать мысли, излагая какой-либо научный материал. Навыки изображения кривой помогают решать задачи на построение. С помощью исследования методом дифференцирования развивается чувство абстрактности. А после построения кривой можно наглядно убедиться в правильности и точности всего исследования.

Таким образом, данная тема является особо актуальной для студентов педагогических ВУЗов математической направленности.

Цель исследования: освоить методы исследования и построения плоских кривых, заданных параметрическим способом в прямоугольной системе координат.

1.Изучить литературу по теме курсовой работы.

2. Провести исследование по данному плану.

Исследование кривой

Исследовать плоские кривые, заданные векторно. Изучить форму кривой:

Область определения.

Областью определения называется множество, на котором задается функция.

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует функция, называется областью определения.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f).

Если функция задана параметрически, то

Найдем область определения для нашей кривой:

;-1) (-1;1) (1;+ )

(- ;-1) (-1;1) (1;+ )

Таким образом, (- ;-1) (-1;1) (1;+ ).

«Концы»: — , -1-0, -1+0, 1-0, 1+0, +

Область определения R, кроме t=

Получили, что кривая состоит из трёх ветвей

2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой y=x.

1) Симметрия относительно осей Ох и Oy.

Две точки А иА₁ называются симметричными друг другу относительно прямойm, если прямаяm перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.

При сгибании плоскости чертежа по прямойm – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.

Симметрия относительно оси Ox:

x(t) = x(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Ox

Симметрия относительно оси Oy:

x(t) = -x(-t)

Если x(t) x(-t) или y(t) y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Oy.

a) Относительно оси Ох. Достаточное условие симметрии:

Следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох.

b) Относительно оси Оу. Достаточное условие симметрии:

т.е. х(t) не является нечетной.

, т.е. у(t) не является четной.

Таким образом, симметрия относительно Оy не установлена.

2) Симметрия относительно начала системы координат.

Достаточное условие симметрии:

x(t) = -x(-t)

Если x(t) -x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно начала системы координат.

По доказанному ранее уже известно, что x(t) является четной функцией, т.е.

В связи с этим, симметрия относительно начала координат не установлена.

3) Симметрия относительно прямой у=х

Пусть М(х(t), y(t))

M´ симметрична М относительно прямой y=x

Тогда M (y(t), x(t))

Это означает, что существует t₁:M (x(t₁), y(t₁))

t₁ – функция от t должна быть биекцией D на себя, тогда

x(t) = y(t₁)
y(t) = x(t₁)

Чтобы определить симметрию относительно прямой y=x, нужно решить следующую систему:

→

Если подставить в данную систему t = , то система не имеет решение. Симметрия относительно прямой у=х не установлена.

Точки самопересечения.

M (x(t), y(t)) называется точкой самопересечения, если существует такое значение параметра t, что

Чтобы найти точки самопересечения, решим следующую систему уравнений:

(1)

(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2) почленно:

; нет точек самопересечения.

4. Точки пересечения с осями координат.

А) Найдем точки пересечения γ с осью Оy:

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Оy.

Б) Найдем точки пересечения γ с осью ox:

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Ох.

Таким образом, имеем точку пересечения с осями координат:

источник

Найти абсциссу точки. Друзья! В этой статье для вас размещено ещё несколько заданий связанных с координатной плоскостью. Решение данного типа задач, входящих в состав ЕГЭ очень простенькое – решаются они практически сходу в течение минуты. Если вы забыли, что такое абсцисса и ордината, то посмотрите эту статью .

Суть рассматриваемых ниже задач такая – даны фигуры на плоскости, заданы координаты вершин (не всех), необходимо определить абсциссу или ординату неизвестной вершины. Также имеются задачи на определение длины отрезка. Если у вас развито визуальное (зрительное) представление, то решение вы «увидите» сразу посмотрев на эскиз.

Если есть сложности с визуальным представлением фигур на координатной плоскости, то моя вам «универсальная» рекомендация – постройте фигуру по данным координатам на листе в клетку, далее вы без труда определите координаты (местонахождение) вершины или оговоренной в условии точки и ответите на поставленный вопрос. Посмотрите, как это будет выглядеть такое построение:

Например, абсцисса и ордината точки Р (точка пересечения диагоналей параллелограмма) определяется без труда, соответственно 3 и 4. Рассмотрим задачи:

27673. Точки O (0;0), A (6;8), C (0;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Точка В смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 2 единицы (также как и точка А смещена относительно точки С), значит её ордината будет равна 0 + 2 = 2.

27674. Точки O (0;0), A (6;8), B (4;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

Ордината точки С равна длине стороны ОС. Известно, что противолежащие стороны параллелограмма равны, то есть ОС = АВ = 8 – 2 = 6.

Точки O (0;0), A (6;8), B (6;2), C (0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Обратите внимание на то, что в условии сказано, что дан четырёхугольник, то есть как бы подразумевается, что это возможно это и не параллелограмм.

Но по координатам видно, что это не что иное, как параллелограмм.

*Для убедительности можно построить данную фигуру на координатной плоскости на листе в клетку.

Известно, что точка пересечения диагоналей равноудалена от противолежащих сторон (лежит посередине). Поэтому абсцисса точки Р будет равна 6:2 = 3.

27677. Точки О(0;0), А(10;8), С(2;6) и В являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки В.

Абсцисса точки В на 2 меньше абсциссы точки А (также как абсцисса точки О меньше абсциссы точки С), значит она равна 10 – 2 = 8.

27679 (80). Точки O (0;0), A (10;8), B (8;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и ординату точки C.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оХ на 2 единицы (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её абсцисса равна 0 + 2 = 2.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 6 единиц (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её ордината равна шести.

Ответ: абсцисса равна 2, ордината равна 6.

27681 (2). Точки O (0;0), B (8;2), C (2;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и ординату точки A.

Точка А смещена относительно точки С в положительном направлении по оси оХ на 8 единиц (также как и точка В смещена относительно точки О), значит её абсцисса равна 2 + 8 = 10.

Точка А смещена относительно точки В в положительном направлении по оси оУ на 6 единиц (также как и точка С смещена относительно точки О), значит её ордината равна 2 + 6 = 8.

Ответ: Абсцисса точки А равна 10, ордината равна 8.

27683 (4). Точки O (0, 0), A (10, 8), B (8, 2), C (2, 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу и ординату точки P пересечения его диагоналей.

Можно использовать формулу координат середины отрезка. Формула:

Ответ: абсцисса равна 5, ордината равна 4.

27672. Точки O (0;0), B (6;2), C (0;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A .

27675. Точки O(0;0), A(6;8), B(6;2), C(0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

27678. Точки O(0;0), A(10;8), C(2;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

27685. Точки О(0;0), А(6;8), В(8;2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Можно использовать формулу координат середины отрезка, а затем зная их вычислить длину отрезка по соответствующей формуле. Но будет проще и быстрее построить фигуру на координатной плоскости на листе в клетку и вычислить длину отрезка по теореме Пифагора.

27686. Точки O(0;0), A(10;0), B(8;6), C(2;6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Можно использовать формулы координат середины отрезка и затем длины отрезка или построить трапецию н листе в клетку, но в данном случае удобно воспользоваться формулой средней линии трапеции.

источник

M (x(t), y(t)) называется точкой самопересечения, если существует такое значение параметра t, что

Чтобы найти точки самопересечения, решим следующую систему уравнений:

(1)

(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2) почленно:

; нет точек самопересечения.

4. Точки пересечения с осями координат.

А) Найдем точки пересечения γ с осью Оy:

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Оy.

Б) Найдем точки пересечения γ с осью ox:

;

Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Ох.

Таким образом, имеем точку пересечения с осями координат:

О (0;0)- точка пересечения γ с Ох и Оу.

5. Поведение на «концах» области определения.

Вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности. Таким образом, мы исследуем поведение функции на интервале или на бесконечности.

О.О.Ф.: (- ;-1) (-1;1) (1;+ ).

1. D_x(t)= )=(- ;-1) (-1;1) (1; )

2. D_y(t)=(- ;-1) (-1;1) (1; )

источник

Всякий определенный график задается соответствующей функцией. Процесс нахождение точки (нескольких точек) пересечения 2-х графиков сводится к решению уравнения вида f1(x)=f2(x), решение которого и будет являться желанной точкой.

Вам понадобится

1. Еще из школьного курса математики ученикам становится вестимо, что число допустимых точек пересечения 2-х графиков напрямую зависит от вида функций. Так, скажем, линейные функции будут иметь только одну точку пересечения , линейная и квадратная – две, квадратные – две либо четыре, и т.д.

2. Разглядим всеобщий случай с двумя линейными функциями (см. рис.1). Пускай y1=k1x+b1, а y2=k2x+b2. Дабы обнаружить точку их пересечения нужно решить уравнение y1=y2 либо k1x+b1=k2x+b2.Преобразовав равенство, вы получите: k1x-k2x=b2-b1.Выразите x дальнейшим образом:x=(b2-b1)/(k1-k2).

3. Позже нахождения значения х – координаты точки пересечения 2-х графиков по оси абсцисс (ось 0Х), остается вычислить координату по оси ординат (ось 0У). Для этого нужно подставить в всякую из функций, полученное значение х.Таким образом, точка пересечения у1 и у2 будет иметь следующие координаты: ((b2-b1)/(k1-k2);k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2).

4. Проанализируйте пример расчета нахождения точки пересечения 2-х графиков (см. рис.2).Нужно обнаружить точку пересечения графиков функций f1 (x)=0,5x^2 и f2 (x)=0,6x+1,2.Приравняв f1 (x) и f2 (x), получите следующее равенство:0,5x^ =0,6x+1,2. Перенеся все слагаемые в левую часть, получите квадратное уравнение вида:0,5x^2 -0,6x-1,2=0.Решением этого уравнения будут два значения х: x1?2,26,x2?-1,06.

5. Подставьте значения х1 и х2 в всякое из выражений функций. Скажем, и f_2 (x1)=0,6•2,26+1,2=2,55, f_2 (x2)=0,6•(-1,06)+1,2=0,56.Выходит, желанными точками являются: т.А (2,26;2,55) и т.В (-1,06;0,56).

График функции y = f (х) – это уйма всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика традиционно выбирается несколько значений довода х и для них вычисляются соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика благотворно обнаружить его точки пересечения с осями координат.

1. Дабы обнаружить точку пересечения графика функции с осью y, нужно вычислить значение функции при х=0, т.е. обнаружить f(0). Для примера воспользуемся графиком линейной функции, изображенной на рис.1. Ее значение при х=0 (y=a*0+b) равно b, следственно, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b).

2. При пересечении оси абсцисс (оси Х) значение функции равно 0, т.е. y=f(x)=0. Для вычисления х нужно решить уравнение f(x)=0. В случае линейной функции получаем уравнение ax+b=0, откуда и находим x=-b/a.Таким образом, ось Х пересекается в точке (-b/a,0).

3. В больше трудных случаях, скажем, в случае квадратичной зависимости y от х, уравнение f(x)=0 имеет два корня, следственно, ось абсцисс пересекается двукратно. В случае периодической зависимости y от х, скажем y=sin(x), ее график имеет безмерное число точек пересечения с осью Х.Для проверки правильности нахождения координат точек пересечения графика функции с осью Х нужно подставить обнаруженные значения х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Раньше чем приступить к изысканию поведения функции, нужно определить область метаморфозы рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.

1. Функция – это переменная величина, зависящая от значения довода. Довод – переменная самостоятельная. Пределы изменений довода именуются областью возможных значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в рамках ОДЗ потому, что в этих пределах связанность между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.

2. Разглядим произвольную функциональную связанность F=?(x), где ? – математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат либо с другими функциями.

3. В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:F(x)=0.Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке метаморфозы довода.

4. В точках пересечения функции с осью ординат значение довода равно нулю. Следственно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом доводе.

5. Для нахождения точек пересечения заданной функции с иной функцией нужно решить систему уравнений:F=?(x)W=?(x).Тут ?(x) — выражение, описывающее заданную функцию F, ?(x) — выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции необходимо обнаружить. Видимо, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях доводов. Всеобщих точек у 2-х функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений довода.

Видео по теме

В точках пересечения функции имеют равные значения при идентичном значении довода. Обнаружить точки пересечения функций — значит определить координаты всеобщих для пересекающихся функций точек.

1. В всеобщем виде задача нахождения точек пересечения функций одного довода Y=F(x) и Y?=F?(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y?, от того что в всеобщей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F?(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.

2. Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного довода х, то задачу нахождения точек пересечения дозволено решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений довода, обнаружьте соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем огромнее точек будет использовано для построения, тем вернее будет график.

3. Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся объективными, точки пересечения обнаружены положительно. Если графики функций не пересекаются, испробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения огромнее, дабы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. После этого на выявленном участке пересечения постройте больше подробнейший график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.

4. Если необходимо обнаружить точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, доводится разглядеть функции 2-х переменных: Z=F(x,y) и Z?=F?(x,y). Для определения координат точек пересечения функций надобно решить систему уравнений с двумя незнакомыми х и y при Z= Z?.

источник

Как найти точки пересечения графиков в Excel? Например, есть графики, отображающие несколько показателей. Далеко не всегда они будут пересекаться непосредственно на поле диаграммы. Но пользователю нужно показать те значения, в которых линии рассматриваемых явлений пересекаются. Рассмотрим на примере.

Имеются две функции, по которым нужно построить графики:

Выделяем диапазоны данных, на вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» подбираем нужный тип графика. Как:

Нужно найти точки пересечения графиков со значением Х, поэтому столбчатые, круговые, пузырьковые и т.п. диаграммы не выбираем. Это должны быть прямые линии.
Для поиска точек пересечения необходима ось Х. Не условная, на которой невозможно задать другое значение. Должна быть возможность выбирать промежуточные линии между периодами. Обычные графики не подходят. У них горизонтальная ось – общая для всех рядов. Периоды фиксированы. И манипулировать можно только с ними. Выберем точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами.

Для данного типа диаграммы между основными периодами 0, 2, 4, 6 и т.д. можно использовать и промежуточные. Например, 2,5.

В табличном редакторе Excel нет встроенной функции для решения подобной задачи. Линии построенных графиков не пересекаются (см. рисунок), поэтому даже визуально точку пересечения найти нельзя. Ищем выход.

Первый способ. Найти общие значения в рядах данных для указанных функций.

В таблице с данными таковых значений пока нет. Так как мы решали уравнения с помощью формул в полуавтоматическом режиме, с помощью маркера автозаполнения продолжим ряды данных.

Значения Y одинаковые при Х = 4. Следовательно, точка пересечения двух графиков имеет координаты 4, 5.

Изменим график, добавив новые данные. Получим две пересекающиеся линии.

Второй способ. Применение для решения уравнений специального инструмента «Поиск решения». Кнопка вызова инструмента должна быть на вкладке «Данные». Если нет, нужно добавить из «Надстроек Excel».

Преобразуем уравнения таким образом, чтобы неизвестные были в одной части: y – 1,5 х = -1; y – х = 1. Далее для неизвестных х и y назначим ячейки в Excel. Перепишем уравнения, используя ссылки на эти ячейки.

Вызываем меню «Поиск решения» — заполняем условия, необходимые для решения уравнений.

Нажимаем «Выполнить» — инструмент предлагает решение уравнений.

Найденные значения для х и y совпадают с предыдущим решением с помощью составления рядов данных.

Существует три показателя, которые измерялись во времени.

По условию задачи показатель В имеет постоянную величину на протяжении всех периодов. Это некий норматив. Показатель А зависит от показателя С. Он то выше, то ниже норматива. Строим графики (точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами).

Точки пересечения имеются только у показателей А и В. Но их точные координаты нужно еще определить. Усложним задачу – найдем точки пересечения показателя C с показателями А и В. То есть в какие временные периоды и при каких значениях показателя А линия показателя С пересекает линию норматива.

Точек у нас будет две. Их рассчитаем математическим путем. Сначала найдем точки пересечения показателя А с показателем В:

На рисунке видно, какие значения использовались для расчета. По такой же логике находим значение х для второй точки.

Теперь рассчитаем точки, найденных значений по оси Х с показателем С. Используем близкие формулы:

На основе новых данных построим точечные диаграммы на том же поле (где наши графики).

Для большей информативности и эстетики восприятия добавим пунктирные линии. Их координаты:

Добавим подписи данных – значения показателя C, при которых он пересечет линию норматива.

Можно форматировать графики по своему усмотрению – делать их более выразительными и наглядными.

источник

Разработать программу на языке С++. Даны вещественные числа x и y . Определить принадлежит ли точка с координатами ( x ; y ) заштрихованной части плоскости. Варианты заданий представлены на рис.3.64 -3.88.

Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Самоучитель по программированию на C/C++.

Разработать программу на языке С++ для следующих заданий:

1. Задан круг с центром в точке О ( x 0 , y 0 ), радиусом R 0 и точка А ( x 1 , y 1 ). Определить, находится ли точка внутри круга.

2. Задана окружность с центром в точке О ( x 0 , y 0 ) и радиусом R 0 . Определить пересекается ли заданная окружность с осью абсцисс, если пересекается найти точки пересечения.

3. Задана окружность с центром в точке О ( x 0 , y 0 ) и радиусом R 0 . Определить пересекается ли заданная окружность с осью ординат, если пересекается найти точки пересечения.

Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Самоучитель по программированию на C/C++.

4. Задана окружность с центром в точке O (0,0) и радиусом R 0 и прямая y = ax + b . Определить, пересекаются ли прямая и окружность. Если пересекаются, найти точки пересечения.

5. Заданы окружности. Первая с центром в точке О ( x 1 , y 1 ) и радиусом R 1 , вторая с центром в точке О ( x 2 , y 2 ) и радиусом R 2. Определить пересекаются окружности, касаются или не пересекаются.

6. Заданы три точки A ( x 1 y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ). Определить какая из точек наиболее удалена от начала координат.

7. Заданы три точки A ( x 1 y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ). Определить какая из точек В или С наименее удалена от точки А .

8. Определить, пересекаются ли линии у=аx +b и у = kx + m . Если пересекаются, найти точку пересечения.

9. Определить, пересекает ли линия у=аx +b ось абсцисс. Если пересекает, найти точку пересечения.

10. Определить, пересекаются ли линии у=аx 3 +bx 2 + сx+d и у = kx + m . Если пересекаются, найти точки пересечения.

11. Определить, пересекаются ли линии у = аx 3 + bx 2 + с x+ d и у = kx 3 + mx 2 + nx + . Если p пересекаются, найти точки пересечения.

12. Определить, пересекаются ли линии у = аx 3 + bx 2 + с x+ d и у = аx 3 + mx 2 + nx + . Если p пересекаются, найти точки пересечения.

13. Определить, пересекаются ли линии у = аx 3 + bx 2 + с x+ d и у = mx 2 + nx + . Если p пересекаются, найти точку пересечения.

14. Определить, пересекает ли линия у = аx 3 + bx 2 + с x+ d ось абсцисс. Если пересекает, найти точку пересечения.

15. Определить, пересекаются ли параболы у = аx 2 + bx + с и у = dx 2 + mx + . Если n пересекаются, то найти точки пересечения.

16. Определить, пересекаются ли линии у = bx 2 + сx + d и у = kx + m . Если пересекаются, найти точки пересечения

17. Найти точки пересечения линии у = аx 2 + bx + с с осью абсцисс. Если линии не пересекаются выдать соответствующее сообщение.

18. Определить, пересекаются ли линии у = аx 4 + bx 3 + сx 2 + dx+f и у = bx 3 + mx 2 + dx + . Если p пересекаются, найти точки пересечения.

19. Определить, пересекаются ли линии у = аx 4 + bx 2 + kx+c и у = mx 2 + kx + . Если p пересекаются, найти точки пересечения.

20. Определить, пересекает ли линия у = аx 4 + bx 2 + c ось абсцисс. Если пересекает, найти точки пересечения.

21. Найти комплексные корни уравнения у = аx 4 + bx 2 + c . Если в уравнении нет комплексных корей вывести соответствующее сообщение.

22. Найти комплексные корни уравнения у=аx 3 +bx 2 + сx+d . Если в уравнении нет комплексных корей вывести соответствующее сообщение.

23. Найти комплексные корни уравнения у=аx 2 +bx+ . с Если в уравнении нет комплексных корей вывести соответствующее сообщение.

24. Даны координаты точки на плоскости. Если точка совпадает с началом координат, то вывести 0. Если точка не совпадает с началом координат, но лежит на оси OX или OY, то вывести соответственно 1 или 2. Если точка не лежит на координатных осях, то вывести 3.

25. Даны координаты точки, не лежащей на координатных осях OX и OY. Определить номер координатной четверти, в которой находится данная точка.

источник

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квдартичной параболы.В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискримнант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем коодинаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подствим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на кординатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид – в этом уравнении – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

§ сначала построить график функции ,

§ затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

§ затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

§ а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+4)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10005 — | 7702 — или читать все.

195.133.146.119 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

источник

Даны два отрезка, каждый из которых задан двумя точками: (v11, v12), (v21, v22). Необходимо определить, пересекаются ли они, и если пересекаются, найти точку их пересечения.

Для начала необходимо определить, пересекаются ли отрезки. Необходимое и достаточное условие пересечения, которое должно быть соблюдено для обоих отрезков следующее: конечные точки одного из отрезков должны лежать в разных полуплоскостях, если разделить плоскость линией, на которой лежит второй из отрезков. Продемонстрируем это рисунком.

На левом рисунке (1) показаны два отрезка, для обоих из которых условие соблюдено, и отрезки пересекаются. На правом (2) рисунке условие соблюдено для отрезка b, но для отрезка a оно не соблюдается, соответственно отрезки не пересекаются.
Может показаться, что определить, с какой стороны от линии лежит точка — нетривиальная задача, но у страха глаза велики, и всё не так сложно. Мы знаем, что векторное умножение двух векторов даёт нам третий вектор, направление которого зависит от того, положительный или отрицательный угол между первым и вторым вектором, соответственно такая операция антикоммутативна. А так как все вектора лежат на плоскости X-Y, то их векторное произведение (которое обязано быть перпендикулярным перемножаемым векторам) будет иметь ненулевой только компоненту Z, соответственно и отличие произведений векторов будет только в этой компоненте. Причем при изменении порядка перемножения векторов (читай: угла между перемножаемыми векторами) состоять оно будет исключительно в изменении знака этой компоненты.
Поэтому мы можем умножить попарно-векторно вектор разделяющего отрезка на векторы направленные от начала разделяющего отрезка к обеим точкам проверяемого отрезка.

Если компоненты Z обоих произведений будет иметь различный знак, значит один из углов меньше 0 но больше -180, а второй больше 0 и меньше 180, соответственно точки лежат по разные стороны от прямой. Если компоненты Z обоих произведений имеют одинаковый знак, следовательно и лежат они по одну сторону от прямой.
Если один из компонент Z является нулём, значит мы имеем пограничный случай, когда точка лежит аккурат на проверяемой прямой. Оставим пользователю определять, хочет ли он считать это пересечением.
Затем нам необходимо повторить операцию для другого отрезка и прямой, и убедиться в том, что расположение его конечных точек также удовлетворяет условию.
Итак, если всё хорошо и оба отрезка удовлетворяют условию, значит пересечение существует. Давайте найдём его, и в этом нам также поможет векторное произведение.
Так как в векторном произведении мы имеем ненулевой лишь компоненту Z, то его модуль (длина вектора) будет численно равен именно этой компоненте. Давайте посмотрим, как найти точку пересечения.

Длина векторного произведения векторов a и b (как мы выяснили, численно равная его компоненте Z) равна произведению модулей этих векторов на синус угла между ними (|a| |b| sin(ab)). Соответственно, для конфигурации на рисунке мы имеем следующее: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), и |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) является перпендикуляром, опущенным из точки C на отрезок AB, а |AD|sin(β) является перпендикуляром, опущенным из точки D на отрезок AB (катетом ADD’). Так как углы γ и δ — вертикальные углы, то они равны, а значит треугольники PCC’ и PDD’ подобны, а соответственно и длины всех их сторон пропорциональны в равном отношении.
Имея Z1 (AB x AC, а значит |AB||AC|sin(α) ) и Z2 (AB x AD, а значит |AB||AD|sin(β) ), мы можем рассчитать CC’/DD’ (которая будет равна Z1/Z2), а также зная что CC’/DD’ = CP/DP легко можно высчитать местоположение точки P. Лично я делаю это следующим образом:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Вот и все. Мне кажется что это действительно очень просто, и элегантно. В заключение хочу привести код функции, реализующий данный алгоритм. В функции использован самодельный шаблон vector , который является шаблоном вектора размерностью int с компонентами типа typename. Желающие легко могут подогнать функцию к своим типам векторов.

источник

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

В разделе взаимное расположение прямых на плоскости показано, что две прямые на плоскости могут либо совпадать (при этом они имеют бесконечно много общих точек), либо быть параллельными (при этом две прямые не имеют общих точек), либо пересекаться, имея одну общую точку. Вариантов взаимного расположения двух прямых в пространстве больше – они могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), могут быть параллельными (то есть, лежать в одной плоскости и не пересекаться), могут быть скрещивающимися (не лежащими в одной плоскости), а также могут иметь одну общую точку, то есть, пересекаться. Итак, две прямые и на плоскости и в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Из определения пересекающихся прямых следует определение точки пересечения прямых: точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Приведем для наглядности графическую иллюстрацию точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве.

Прежде чем находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости по их известным уравнениям, рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b . Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида , а прямой b – вида . Пусть – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M является точкой пересечения прямых a и b , то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b , то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М удовлетворяют обоим уравнениям и , то – точка пересечения прямых a и b , в противном случае М не является точкой пересечения прямых.

Является ли точка М с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 ?

Если М действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М в заданные уравнения:

Получили два верных равенства, следовательно, М (2, -3) — точка пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.

да, точка М (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M (2, -3) ?

Подставим координаты точки М в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М обеим прямым одновременно:

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М не обратилось в верное равенство, то точка М не принадлежит прямой 7x-2y+11=0 . Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 . Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2) .

М (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 .

Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями и соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых и .

Точка M принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

M (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения метод Крамера:

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Подставим в уравнение прямой выражения :

Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y , которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

уравнения и определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения метод Гаусса, так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

— нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, — точка пересечения прямых 2x-1=0 и .

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Пусть пересекающиеся прямые a и b заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, прямая a определяется системой вида , а прямая b — . Пусть М – точка пересечения прямых a и b . Тогда точка М по определению принадлежит и прямой a и прямой b , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Таким образом, координаты точки пересечения прямых a и b представляют собой решение системы линейных уравнений вида . Здесь нам пригодится информация из раздела решение систем линейных уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Рассмотрим решения примеров.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная — .

Определим ранг матрицы А и ранг матрицы T . Используем метод окаймляющих миноров, при этом не будем подробно описывать вычисление определителей (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен трем.

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Базисным минором примем определитель , поэтому из системы уравнений следует исключить последнее уравнение, так как оно не участвует в образовании базисного минора. Итак,

Решение полученной системы легко находится:

Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (1, -3, 0) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые a и b пересекаются. Если же прямые а и b параллельные или скрещивающиеся, то последняя система уравнений решений не имеет, так как в этом случае прямые не имеют общих точек. Если прямые a и b совпадают, то они имеют бесконечное множество общих точек, следовательно, указанная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако в этих случаях мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямых, так как прямые не являются пересекающимися.

Таким образом, если мы заранее не знаем, пересекаются заданные прямые a и b или нет, то разумно составить систему уравнений вида и решить ее методом Гаусса. Если получим единственное решение, то оно будет соответствовать координатам точки пересечения прямых a и b . Если система окажется несовместной, то прямые a и b не пересекаются. Если же система будет иметь бесконечное множество решений, то прямые a и b совпадают.

Можно обойтись и без использования метода Гаусса. Как вариант, можно вычислить ранги основной и расширенной матриц этой системы, и на основании полученных данных и теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод или о существовании единственного решения, или о существовании множества решений, или об отсутствии решений. Это дело вкуса.

Если прямые и пересекаются, то определите координаты точки пересечения.

Составим систему из заданных уравнений: . Решим ее методом Гаусса в матричной форме:

Стало видно, что система уравнений не имеет решений, следовательно, заданные прямые не пересекаются, и не может быть и речи о поиске координат точки пересечения этих прямых.

мы не можем найти координаты точки пересечения заданных прямых, так как эти прямые не пересекаются.

Когда пересекающиеся прямые заданы каноническими уравнениями прямой в пространстве или параметрическими уравнениями прямой в пространстве, то следует сначала получить их уравнения в виде двух пересекающихся плоскостей, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями и . Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Зададим исходные прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей:

Для нахождения координат точки пересечения прямых осталось решить систему уравнений . Ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы и равен трем (рекомендуем проверить этот факт). В качестве базисного минора примем , следовательно, из системы можно исключить последнее уравнение . Решив полученную систему любым методом (например методом Крамера) получаем решение . Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (-2, 3, -5) .

источник